En innføring i matematikkfilosofien

Av Ansten Klev postdoktor i filosofi ved det Tsjekkiske vitenskapsakademiet.

Matematikken — slik heter det i åpningen av første kapittel av Øystein Linnebos lærebok Philosophy of Mathematics — stiller oss overfor en fryktinngytende filosofisk utfordring. Matematisk kunnskap er a priori: Matematiske påstander kan begrunnes uten henvisning til sanseerfaring. Selvfølgelig kan man ta penn og papir til hjelp når man utfører et regnestykke eller fører et matematisk bevis; men sanseerfaringene man dermed gjør er ikke vesentlige for begrunnelsen: Man kan jo for eksempel også gjøre utregningen i hodet, ved såkalt hoderegning. Videre er matematiske sannheter nødvendigvis sanne: De er sanne uansett hvordan verden måtte se ut, ja sågar uavhengig av om det overhodet skulle finnes en verden. At 3+4 er lik 7 er for eksempel helt uavhengig av det faktum at hvis du slipper et eple, så faller det til jorden, og sågar uavhengig av om det overhodet finnes epler eller en jord. Dessuten er matematikkens gjenstandsområde unikt: Tall, for eksempel, finnes hverken i naturen, i kulturen, eller i psyken, men synes å ha en væren adskilt fra alle disse områdene. Matematikken synes derfor å være ulik alle andre vitenskaper. At matematikken selv er en vitenskap som lever i beste velgående kan det ikke herske noen tvil om. Den filosofiske utfordringen er derfor å redegjøre for den unike stillingen matematikken har blant vitenskapene, og å gjøre dette på en måte som samsvarer med det vitenskapelige verdensbildet, altså uten å påkalle mystisk innsikt eller evig geometriserende guddommer.

Linnebo gir seg i kast med denne utfordringen både direkte og mer indirekte i løpet av bokens tolv kapitler. Av disse er syv viet hvert sitt standpunkt innenfor matematikkfilosofien, mens fem er mer tematisk orienterte. Blant standpunktene som behandles finner man selvfølgelig «de tre store», det vil si, logisisme, formalisme og intuisjonisme; men også såkalt nominalisme, empirisme og strukturalisme. Blant temaene viet egne kapitler finnes mengdelære, matematisk anskuelse og såkalt abstraktive definisjoner (hvilket jeg herved foreslår som oversettelse av definition by abstraction).

Den moderne matematikkfilosofiens begynnelse
Den moderne matematikkfilosofien,¹ kan man godt si, tok form på begynnelsen av 1900-tallet. Da ble matematikkens grunnlag — altså spørsmålet om hva matematikken i siste instans hviler på — diskutert mer heftig enn kanskje noen gang tidligere. Man kan peke på flere grunner til det. I løpet av 1800-tallet hadde matematikken blitt mer og mer «abstrakt» eller «konseptuell», og selv om de aller fleste matematikere hilste denne utviklingen velkommen, var det noen som syntes at på noen områder hadde man gått for langt og tatt seg for mange friheter. At ikke alt overalt var som det skulle være viste seg gjennom de såkalte mengdeteoretiske paradoksene.² Altså var det grunnlag for skepsis og uenigheter. Dessuten hadde én tendens innenfor den nevnte utviklingen hatt som mål å finne definisjoner av begreper man tidligere hadde ansett som primitive. Et berømt eksempel er den tyske matematikeren Karl Weierstrass’ definisjon av en funksjons kontinuitet. Forutsetningene lå altså til rette for en dypere skuen inn i matematikkens vesen og grunnlag. Sist men ikke minst tillot fremskrittene logikken nylig hadde gjort, og fortsatte å gjøre, i denne perioden en mer presis diskusjon av grunnlagsproblemer enn det tidligere tiders logiske verktøy hadde kunnet tillate.

Det var da også på begynnelsen av 1900-tallet — eller mer presist i løpet av 1920-tallet — at logisismen, intuisjonismen og formalismen utkrystalliserte seg som de viktigste standpunktene innenfor matematikkfilosofien. Disse hadde ikke nødvendigvis som mål å besvare akkurat de samme spørsmålene; altså skal man være forsiktig med å sette dem opp mot hverandre som direkte motsetninger. Men i hvert fall i to henseender strider logisismen og intuisjonismen mot hverandre. Ved hjelp av kantiansk begrepsbruk kan vi si at der førstnevnte anser matematisk kunnskap som springende ut fra forstanden, følger sistnevnte Immanuel Kant i å tildele sanseligheten en hovedrolle i tilegnelsen av slik kunnskap. Logisismens hovedtese er nettopp at matematikken, eller i hvert fall aritmetikken — det vil si, læren om de naturlige tallene 0, 1, 2, 3,… — kun er en del av logikken. Og logikken er ifølge Kant vitenskapen om forstandens bruk. Det fremgår av navnet «intuisjonisme» at det her legges stor vekt på intuisjon, og da forstått som kantiansk anskuelse. Anskuelse er i det kantianske systemet forestillingsformen knyttet til sanseligheten, og står som sådan i motsetning til begrep, som er knyttet til forstanden.

I forlengelsen av disse dikotomiene finner man også den mellom analytiske og syntetiske dommer; og slik logisismen forfekter at i hvert fall aritmetikkens dommer er analytiske, forfekter intuisjonismen at alle matematikkens dommer er syntetiske.

Det andre henseendet der logisismen og intuisjonismen strider mot hverandre er i synet på matematiske gjenstanders værensmodus. I følge logisismen, i hvert fall slik vi kjenner den fra Gottlob Frege, er et talls væren helt uavhengig både av oss som erkjennende subjekter, og av hva som skjer i den virkelige verden. Intuisjonismen, derimot, anser matematikken som en åndelig konstruksjon, og dermed dens gjenstander som avhengige av det erkjennende subjekt. Sistnevnte kan derfor her beskrives som en ingeniør, snarere enn en oppdagelsesreisende, slik en logisist kunne ha beskrevet det.

Frege

Frege er et stadig tilbakevendende referansepunkt, og fremstår som en slags helteskikkelse, i Linnebos bok. Det finnes en lang rekke tilnærmelser til Frege, og mer spesifikt til hans logikk og logisisme, i den samtidige litteraturen. I kapittelet Linnebo vier Freges logisisme drar man kjensel på lesningene fremsatt av Michael Dummett og Crispin Wright, og kanskje særlig sistnevntes Frege’s Conception of Numbers as Objects (Aberdeen, 1983), og en stor mengde arbeider som fulgte i kjølvannet av denne. Ifølge denne lesningen ligger kjernen i Freges matematikkfilosofi i noen avsnitt av Aritmetikkens grunnlag (1884).³ Her finner man argumentet — av Linnebo (s. 27) kalt The Fregean argument — som slutter at tall virkelig er gjenstander fra følgende tre premisser: i) Matematiske teoremer er sanne; ii) singulære termer i språket som disse teoremene er formulert i refererer direkte til matematiske gjenstander; iii) man kan med rette si at noe er en gjenstand gitt at det refereres til direkte av en singulær term i en sann påstand. Her finner man også Freges drøftelser omkring abstraktive definisjoner og deres mulige rolle i tilegnelsen av primitive matematiske begreper samt i grunnleggelsen av matematiske teorier. Sist men ikke minst, finner man her skissert en utledning av aritmetikkens aksiomer fra én slik abstraktiv definisjon, nemlig det såkalte Humes prinsipp.

Qua definisjon er Humes prinsipp ment å fastsette betydningen av bestemte beskrivelser på formen antallet F, der F er en generell term, som for eksempel «kniver» eller «gafler». Prinsippet sier at antallet F er likt antallet G hvis og bare hvis det finnes en én-til-én korrespondanse mellom F’ene og G’ene. For eksempel er antallet kniver likt antallet gafler på det nydekte bordet siden hver kniv kan pares med én og bare én gaffel. Dette prinsippet høres tilforlatelig ut som sådan, men i rollen som abstraktiv definisjon må man huske at uttrykket «antallet F» ikke har noen mening forut for denne definisjonen.

Linnebos fremstilling av det såkalte Freges Teorem, altså utledningen av aritmetikkens aksiomer fra Humes prinsipp, er elegant. En analyse av disse aksiomene viser at de kan formuleres ved hjelp av antallet F som eneste primitive begrep og deretter utledes hvert og ett fra Humes prinsipp. Frege var imidlertid ikke fornøyd med Humes prinsipp som definisjon og erstattet derfor dette med det som senere skulle bli Grunnsetning V i Aritmetikkens grunnsetninger, hvorfra Humes prinsipp kan utledes. Freges logiske system tillater for ethvert begrep B dannelsen av en gjenstand b kalt begrepsomfanget til B. Idéen om begrepsomfang var langt fra ny i logikkhistorien: Den finnes for eksempel i den meget innflytelsesrike Port-Royal-logikken, skrevet av jansenistene Antoine Arnauld og Pierre Nicole i andre halvdel av 1600-tallet.⁴ Men å anse begrepsomfang som gjenstander, slik Frege gjorde, var nytt. Hans Grunnsetning V sier i prinsippet at man kan tenke på begrepsomfang som mengder, nemlig at begrepsomfangene b og b’ er like hvis og bare hvis gjenstandene som faller under B er akkurat de samme som de som faller under B’. Altså skal omfanget til begrepet «familien Hansens sølvtøy» være likt omfanget til begrepet «sølvtøy på det nydekte bordet» hvis og bare hvis familien Hansen har brukt alt sitt sølvtøy i dekkingen av bordet. Dette kan synes som et tilforlatelig prinsipp, men som antakelse innenfor Freges logiske system viste Grunnsetning V seg å gi opphav til en selvmotsigelse, slik Bertrand Russell og Ernst Zermelo innså, og førstnevnte meddelte Frege i et brev i 1902.⁵ Ny-logisismen, igangsatt av Wrights ovennevnte bok, tar som utgangspunkt at Humes prinsipp kan fungere som definisjon av begrepet antallet F, at det altså ikke er nødvendig å gi en såkalt eksplisitt definisjon av dette begrepet, slik at man derfor slipper å påkalle Grunnsetning V til dette formålet.

Intuisjonismen

Der Frege og andre logisister, som Bertrand Russell og Richard Dedekind, satte seg fore å definere de naturlige tallene fra antatt logiske begreper og utlede aritmetikkens aksiomer fra antatt logiske grunnsetninger, anså den nederlandske matematikeren og grunnleggeren av intuisjonismen L.E.J. Brouwer disse tingene som direkte gitt av det han kalte «den matematiske uranskuelsen». Denne beskrev Brouwer som anskuelsen av «et livsøyeblikk fallende fra hverandre i kvalitativt ulike deler som, kun skilt av tiden, igjen kan forenes.»⁶ Når man ser bort fra alt sanseinnhold disse «livsøyeblikkene» måtte ha, oppstår det Brouwer kaller en to-enhet, hvilket man kanskje kan se for seg som et kirsebærpar forbundet av sine respektive stilker. Nå kan den ene av disse enhetene i sin tur «falle fra hverandre» i to nye enheter, liksom forbundet av den opprinnelige enheten; dermed har man dannet tallet 3. Og slik kan man fortsette og dermed danne alle de naturlige tallene. I åpningen av sin doktoravhandling beskriver Brouwer hvordan man skal tenke seg de ulike regningsartene, og han rettferdiggjør på det grunnlaget for eksempel den kommutative loven for addisjon, nemlig at m+n=n+m.

Som man kan ane av dette, står tanken om konstruksjon sentralt i intuisjonism
en. For Brouwer gjaldt det at kun det som er konstruert — det som er bygget opp av det erkjennende subjektet — eksisterer. Det andre sentrale begrepet i intuisjonismen er bevis. At en påstand er sann betyr at det finnes et bevis for den. Denne tanken gir opphav til den såkalte «BHK-tolkningen» av de logiske konstantene, oppkalt etter Brouwer, Heyting og Kolmogorov. De som har tatt et innføringskurs i logikk vil kanskje huske at for eksempel konjunksjon — logikerens «og» — kan forstås som en såkalt sannhetsfunksjon og defineres ved hjelp av en sannhetsverditabell. Konjunksjonen A&B sies å være sann dersom setningen A og setningen B begge er sanne, mens den i alle andre tilfeller er usann. For eksempel er konjunksjonen «Universitetet i Oslo (UiO) ligger på Blindern & Universitetet i Bergen (UiB) ligger på Nygårdshøyden» sann, mens «UiO ligger på Frogner og UiB ligger på Nygårdshøyden» er usann. I BHK-tolkningen forklares ikke de logiske konstantene som sannhetsfunksjoner; i stedet forklares de ved at man sier hvordan et bevis ser ut for en setning sammensatt av en gitt konstant. For eksempel sier man at et bevis for en konjunksjon A&B består av et bevis for A og et bevis for B. Litt forenklet kan man altså si at denne tolkningen erstatter sannhetsbetingelser med bevisbetingelser.

Et problem for intuisjonismen og den nært beslektede konstruktivismen er hvordan man skal forstå forholdet mellom sannhet, på den ene siden, og eksistensen av et bevis, på den andre. Er det slik at en matematisk påstand blir sann kun i og med konstruksjonen av et bevis? Fermats siste sats ble bevist av den britiske matematikeren Andrew Wiles i 1995. Når vi nå dermed vet at et bevis finnes, synes det naturlig å si at denne setningen må ha vært sann allerede da Fermat fremsatte den som formodning på 1600-tallet. Men det kan man ikke si om man analyserer A er sann som A er bevist. For om dette er din analyse av sannhet, er du nødt til å si at Fermats siste sats ble sann kun i og med Wiles’ bevisføring, og at den forut for Wiles’ bevisføring ikke hadde noen sannhetsverdi. Denne analysen kritiseres med rette av Linnebo (s. 79), og spørsmålet er om man kan finne en bedre analyse. I følge én av vår tids fremste logikere, svenske Per Martin-Löf, må man skille mellom en påstands, eller doms, berettigelse og en setnings, en proposisjons, eller et domsinnholds, sannhet. Man er berettiget i å påstå at en proposisjon A er sann kun hvis man besitter et bevis for A. Det følger imidlertid ikke at proposisjonen A blir sann kun i og med konstruksjonen av et bevis for den. Analysen av en proposisjons sannhet må altså skilles fra analysen av en påstands, eller doms, berettigelse. Om man fremholder at begrepet om berettigelse har forrang fremfor begrepet om sannhet, slik Martin-Löf gjør, er logikken som resulterer konstruktiv snarere enn klassisk.⁸

Formalismen

Behandlingen av formalismen er delt opp i to kapitler (som også tar for seg temaer som ikke er direkte knyttet til formalismen). I ett kapittel beskrives den formalistiske grunnholdningen til matematikkens ontologi, nemlig at matematikken studerer rent formelle gjenstander som er direkte tilgjengelige for anskuelsen. Linnebo gjør her bruk av en terminologi Charles Parsons innførte i en klassisk artikkel om Kants aritmetikkfilosofi:⁹ Formalistens matematiske gjenstander er kvasi-konkrete, hvilket betyr at de ikke er like konkrete som stener og sakser, men at de har konkrete kanoniske eksemplifiseringer, slik for eksempel setninger i et språk har (s. 47). «I begynnelsen er tegnet», sier den store tyske matematikeren David Hilbert i én av sine artikler fra 1920-tallet, hvor han identifiserer aritmetikkens gjenstandsområde med tegnene selv betraktet uavhengig av tid og rom, samt «små ulikheter i utføringen».¹⁰ Dette gjenstandsområdet er uavhengig av logikken — dets elementer er ekstra-logiske (außerlogische) — altså er aritmetikken ikke en del av logikken, slik Frege og Dedekind mente. Her står altså Hilberts formalisme på samme side som intuisjonismen.

I det andre kapitlet viet formalismen presenteres det såkalte Hilbert-programmet. Matematikken slik den faktisk utøves er ikke begrenset til kvasi-konkrete gjenstander og rent kombinatoriske operasjoner med disse. Den matematikken som går utover dette rent anskuelig, eller finitære, domenet er imidlertid ikke åpenbart tilforlatelig, slik de mengdeteoretiske paradoksene bevitner.¹¹ Hilberts revolusjonerende idé var at i og med muligheten av å formulere all matematikk i strengt regimenterte språk à la Freges begrepsskrift går det an å anse matematiske utsagn selv som matematiske gjenstander, og sågar som kvasi-konkrete gjenstander, og bevis som konfigurasjoner av slike gjenstander. Man skulle da kunne forsikre seg om at en matematisk teori er konsistent — at den ikke gir opphav til selvmotsigelser — ved hjelp av rent kombinatorisk resonnering angående kvasi-konkrete gjenstander, nemlig formler, og deres konfigurasjoner. Hilbert kalte den nye matematiske grenen han dermed innviet bevisteori, og sammenlignet denne med filosofenes fornuftskritikk.¹²

Empirisme og strukturalisme

Bokens to påfølgende kapitler er viet utpreget empiristiske standpunkter. Ett kapittel tar for seg standpunkter hvor empirismen først og fremst gir seg utslag i kunnskapsteorien. Her drøftes først John Stuart Mills synspunkt at likheter som for eksempel 2+3=5 er induktivt begrunnet: Hver gang vi legger sammen en samling av 2 gjenstander med en (disjunkt) samling av 3 gjenstander får vi en samling av 5 gjenstander. Deretter drøftes W. v. O. Quines holisme. Denne forfekter at matematikken ikke har noen vesentlig annen stilling enn naturvitenskapene innenfor veven av oppfatninger (web of belief), og er i prinsippet vel så åpen for revisjon som disse. Det andre kapitlet tar for seg standpunkter hvor også ontologien får gjennomgå. Mest oppmerksomhet vies Hartry Fields nominalisme, som forfekter at det egentlig ikke finnes matematiske gjenstander og at matematiske teoremer derfor egentlig ikke er sanne. Field søker å begrunne dette synspunktet ved å vise hvordan anvendt matematikk kan redegjøres for uten å anta at det finnes matematiske gjenstander. Slik undergraves det såkalte uunværlighetsargumentet, som for Field, og flere med ham, utgjør det sterkeste argumentet for eksistensen av matematiske gjenstander. Dette argumentet kan man fremlegge for eksempel som følger: Matematikken er uunnværlig for naturvitenskapene. Matematiske gjenstander, for eksempel tall, er uunnværlige for matematikken. Altså er matematiske gjenstander uunnværlige for naturvitenskapene. Siden vi i det store og det hele har grunn til å tro på det naturvitenskapene forteller oss, må vi altså anta at det finnes matematiske gjenstander.

Det skinner gjennom Linnebos diskusjon av disse empiristiske standpunktene at han foretrekker å redegjøre for matematikkens ontologi og kunnskapsteori på dens egne, heller enn på naturvitenskapens, premisser. Som allerede nevnt i innledningen av denne bokomtalen skiller matematikken seg fra naturvitenskapene på flere grunnleggende måter. Altså kan man ikke uten videre forvente at de samme standarder og tenkemåter som anvendes på disse også kan anvendes på matematikken.

Med drøftelsen av Hartry Fields nominalisme avsluttes den delen av boken viet temaer som ifølge Linnebo bør være med i ethvert kurs i matematikkfilosofi (s. 3). Strukturalismen faller dermed utenfor denne rammen, siden den behandles i bokens nest siste kapittel. At strukturalismen behandles slik adskilt antyder at den ikke så lett føyer seg inn på linje med de andre standpunktene boken drøfter. For eksempel kan man si at der disse andre standpunktene i det store og det hele innbyrdes utelukker hverandre, kan strukturalismen forenes med blant annet logisismen, som hos den tyske matematikeren Richard Dedekind.¹³

Strukturalismens credo sier at matematikken er studiet av strukturer. Det er galt å tenke seg tallet 7, eller et hvilket som helst annet tall, som en ting isolert fra andre tall og deres gjensidige relasjoner. I stedet må man tenke seg tall som deler av en abstrakt struktur. Mer generelt fremholder strukturalismen at enhver matematisk gjenstand er hverken mer eller mindre enn en posisjon i en abstrakt struktur. Et slikt standpunkt synes naturlig å innta i møte med visse vanskeligheter forsøk på å definere, for eksempel, tall som mengder avstedkommer. Om man, slik det er vanlig i mengdelæren, definerer tallet 1 som mengden {∅}, hvis eneste element er den tomme mengden, følger det ikke da at den tomme mengden er et element av tallet 1? Man skulle imidlertid tro at påstanden ∅∈1 enten er usann eller meningsløs.¹⁴ Generelt er det slik at for eksempel de naturlige tallene kan defineres på mange ulike måter. Alle disse ulike måtene å forstå de naturlige tallene på er imidlertid isomorfe — de har den samme strukturen: Nemlig, de har en 0’er, en 1’er, en 2’er, osv. Strukturalismen fremholder at i stedet for å identifisere de naturlige tallene med én av de mange måtene å definere dem på, er det denne felles strukturen som utgjør de naturlige tallenes vesen.

Eksempler på isomorfi, altså strukturlikhet, finner man også utenfor matematikken. Slik kan man se for seg at en viss by har et T-bane-nettverk som er isomorft med Oslos. Denne isomorfien ville ha som følge at linjekartet for Oslo også ville kunne brukes av denne andre byen såfremt man byttet navn på stasjonene (der det skulle være nødvendig — man kan jo ikke utelukke at også den andre byen har sitt Risløkka eller Hovseter). Likeledes kan to fotballag som begge spiller i 4-4-2 formasjon sies å være isomorfe, siden begge eksemplifiserer den samme strukturen, nemlig den med 4 forsvarsspillere, 4 midtbanespillere og 2 spisser. Det ville selvfølgelig være nokså verdensfjernt å hevde at, for eksempel, Tøyen T-banestasjonen hverken er mer eller mindre enn en posisjon i en abstrakt struktur. Men det er fordi vi fra før av har en relativ klar, om ikke så enkelt artikulerbar, oppfatning av hva denne tingen er. På spørsmål om hva Tøyen T-banestasjon er, kan vi jo, under de rette omstendighetene, bare peke og si, «det er dette stedet her». Den samme muligheten har vi ikke om vi ønsker å svare på spørsmålet om hva tallet 7 er. En strukturalist vil hevde at om vi ønsker å svare på dette spørsmålet kommer vi ikke utenom strukturbegrepet.

En skikkelig utarbeidelse av strukturalismen som matematikkfilosofi krever i det minste at man klargjør hvordan begrepet om en abstrakt struktur skal forstås. Et første steg i den retningen er å avgjøre om en struktur som sådan kan sies å eksistere adskilt fra de mange eksemplifiseringene den har i den matematiske verden, eller om den eksisterer kun i og med disse eksemplifiseringene. For å illustrere med fotball-eksempelet: Eksisterer 4-4-2 formasjonen som sådan, eller kun i og med fotballagene som spiller i denne formasjonen? Man kan her dra kjensel på en eldgammel debatt om hvordan platonske idéers eksistens skal forstås. Linnebo diskuterer både det platonske og det aristoteliske standpunktet, samt innvendinger som kan reises mot hvert av disse.

Mengdelære

Det er vanlig innenfor matematikkfilosofien å vie mengdelæren særlig oppmerksomhet. Dette er ikke først og fremst fordi mengdelæren ifølge en ikke uvanlig beskrivelse er studiet av uendelighetsbegrepet, men fordi den tilsynelatende kan tjene som grunnlag for så godt som all matematikk. Man kan nemlig, for det første, definere alle slags matematiske gjenstander innenfor mengdelæren og, for det andre, utlede, på bakgrunn av slike definisjoner, aksiomene for grunnleggende matematiske disipliner, som aritmetikk og analyse, fra mengdelærens aksiomer. For at mengdelæren skal kunne tjene som et solid grunnlag for matematikken må man imidlertid forvisse seg om at den selv er pålitelig som matematisk teori. I henhold til et tradisjonelt vitenskapsideal, oppnår man slik forvissning ved først å forklare hvordan man skal forstå, i dette tilfellet, mengdebegrepet, og deretter innse at mengdelærens aksiomer virkelig er sanne når mengdebegrepet forstås slik.

I et eget kapittel drøfter Linnebo en i dag ofte foretrukket forklaring av mengdebegrepet, nemlig den såkalte iterative mengdeforståelsen. Det er typisk for mengdelæren at man studerer mengder hvis elementer selv er mengder. Faktisk er det vanlig i mengdelæren utelukkende å betrakte slike mengder i tillegg til den tomme mengden ∅, som ikke har noen elementer. Den iterative mengdeforståelsen tenker seg at mengder er dannet trinnvis, slik at en mengdes elementer er dannet på et tidligere trinn enn mengden selv. Den tomme mengden samt eventuelle ikke-mengder er dannet på et nulte trinn. Linnebo redegjør for ulike måter å presisere denne idéen. Han antyder å være mest optimistisk på vegne av en modal-logisk fremstilling som han selv har utviklet i et par meget interessante artikler.¹⁵

Bokens andre kapittel om mengdelæren er viet søket etter nye aksiomer, det vil si, utvidelser av de såkalte ZFC-aksiomene, som stammer fra Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel og nordmannen Thoralf Skolem. Det følger av Gödels første ufullstendighetssats at disse aksiomene er ufullstendige, altså at det finnes utsagn i mengdelærens språk som hverken kan bevises eller motbevises på bakgrunn av disse. Det følger ikke at slike uavhengige utsagn er av videre interesse utover det at de hverken kan bevises eller motbevises. I mengdelæren har det imidlertid vist seg at en lang rekke utsagn som mengdeteoretikere interesserer seg for er uavhengige av ZFC-aksiomene. Det mest berømte eksempelet er kontinuumshypotesen, som sier at det ikke finnes noe kardinaltall mellom kardinaltallet til de naturlige tallene og kardinaltallet til tallene på tallinjen, de såkalte reelle tallene. En mengdes kardinaltall er et mål på hvor mange elementer den har, et begrep Georg Cantor utvidet til å gjelde også for uendelige mengder. Cantor viste at kardinaltallet til mengden av naturlige tall er strengt mindre enn kardinaltallet til mengden av reelle tall og spurte seg deretter om det finnes noe kardinaltall mellom disse to. Han selv klarte ikke å bevise sin formodning om at et slik kardinaltall ikke finnes, og senere viste det seg altså at denne formodningen hverken lar seg bevise eller motbevise på bakgrunn av ZFC-aksiomene.

I lys av slike uavhengighetsresultater er det naturlig å spørre seg hvorvidt uavhengige utsagn som man mener bør kunne avgjøres av mengdelæren kan avgjøres på bakgrunn av nye aksiomer.

Linnebo drøfter måter å bedømme sannhetsgehalten i slike nye aksiomer. Han skiller mellom det han kaller intrinsic evidence og extrinsic evidence. Det er interessant å merke seg at det norske ordet «evidens» ikke kan brukes som oversettelse i denne sammenhengen, for på norsk, som i den tyskspråklige filosofitradisjonen (særlig hos Husserl), betyr «evidens», henholdsvis Evidenz, det å være evident, omtrent slik «sannhet» kan bety det å være sann. Uttrykket «en påstands evidens» kan altså anses som en nominalisering av setningen «påstanden er evident», som uten fremmedord vel kan utlegges som «påstanden er innlysende». I engelskspråklig filosofi brukes evidence imidlertid nesten utelukkende om det som gjør en påstand evident, altså innlysende. Evidens i denne forstanden står altså til det som er evident slik en «sanngjører» (truthmaker) står til det som er sant. I stedet for «evidens», la oss derfor heller bruke «indisium»: Slik og slik indikerer, er et tegn på, at påstanden er sann. Ved en påstands indre indisier forstår Linnebo innsikter som underbygger denne påstanden oppnådd gjennom analyse og forklaring av begrepene som inngår i den. Ved en påstands ytre indisier forstår han slike innsikter oppnådd gjennom undersøkelse av konsekvensene påstanden har om den blir antatt som aksiom. Indre indisier kan således bestå av innsikter som springer ut av den iterative mengdeforståelsen, mens ytre indisier kan bestå av innsikter om det antatte aksiomets evne til å forenkle, eller på annen måte forbedre, en viss matematisk teori.

Uavhengigheten av kontinuumshypotesen har vist seg å være svært motstandsdyktig. Det er derfor betimelig å spørre om hypotesen i det hele tatt har et svar mengdeteoretikere kan enes om. Om man tenker seg mengdelæren som utforskningen av et «univers» av mengder, slik det ofte heter, kan man altså spørre seg om dette universet er entydig bestemt, eller om det kanskje finnes flere mengdeunivers, og at for eksempel kontinuumshypotesen er sann i ett univers, og usant i et annet. Linnebo antyder at et slikt pluralistisk standpunkt ikke så lett lar seg undergrave. Han konkluderer imidlertid med at spørsmålet om hvorvidt man bør anta mengdeteoretisk monisme eller pluralisme antakeligvis ikke har så mye innvirkning på mengdeteoretisk praksis, siden begge sider er enige om at mengdelæren har en lang rekke interessante modeller (s. 182).

Hvordan er matematiske gjenstander gitt oss?

Så lenge man holder seg til såkalt finitære gjenstander — gjenstander som har en vesentlig endelig karakter — er det naturlig å anta at anskuelsen kan spille en rolle i mottagelsen og bearbeidelsen av indre indisier. For eksempel er det en naturlig tanke at vi kan «se» at 3+4=7 ved å føye 3 streker sammen med 4 streker og deretter registrere at resultatet er 7 streker. Matematisk anskuelse, slik det heter noen steder i den samtidige litteraturen, er temaet for kapittel 8, det første i Philosophy of Mathematics viet et rent systematisk emne. Den engelske termen her er «mathematical intuition», men det er klart av Linnebos presisering (s. 118) at «anskuelse» heller enn «intuisjon» er den rette norske oversettelsen i dette tilfellet, siden han knytter an til Kant og Hilbert, som begge snakker om Anschauung. Mest inngående diskuteres her Charles Parsons’ redegjørelse av slik anskuelse,¹⁶ nemlig av det vi ovenfor, etter Parsons’ egen språkbruk, kalte kvasi-konkrete gjenstander. Parsons synes å være særlig inspirert av Husserls idé om kategoriell anskuelse, først beskrevet inngående i bok VI av dennes Logiske undersøkelser. Det var vesentlig for Husserls utlegning av evidens- og sannhetsbegrepet at vi kan «se» at noe er tilfelle, at vi altså har intuitiv tilgang ikke bare til enkeltting, som vaser og bord, men også til kjensgjerninger, for eksempel det at vasen står på bordet. Kjensgjerninger er kun ett av mange eksempler på det Husserl kaller kategorielt formede gjenstander; andre eksempler er mengder og det han kaller allmenne gjenstander. Ifølge Husserl er det gjennom kategoriell anskuelse at vi kan «se» slike kategorielt formede gjenstander. Et vesentlig trekk ved kategorielle anskuelser er at de er fundert i andre anskuelser. For eksempel er anskuelsen av en mengde fundert i anskuelsen av hvert av dens elementer, og anskuelsen av en allmenn gjenstand fundert i én av dens eksemplifiseringer. Parsons synes å ville anse tall som allmenne gjenstander hvis eksemplifiseringer er konkrete tegnkonfigurasjoner.

Som Parsons, er Linnebo skeptisk til hvorvidt slik matematisk anskuelse kan gjøre nytte for seg i rettferdiggjøringen av matematikk som også behandler ikke-finitære gjenstander, som for eksempel uendelige mengder og funksjoner. For om disse skulle være gitt oss gjennom rene tegnkonfigurasjoner uten mening, måtte det i så fall være gjennom tegnkonfigurasjoner av uendelig omfang. For eksempel måtte mengden av alle partall være gitt som, la oss si, ||, ||||, ||||||, ||||||||, … og så videre inn i det uendelige. Og om slike uendelig tegnkonfigurasjoner ikke er en fysisk umulighet, er de i all fall noe det menneskelige sinnet ikke så lett kan bearbeide. Kan hende er vi derfor nødt til å finne en forklaring på hvordan matematiske gjenstander gitt oss som ikke påkaller matematisk anskuelse.

Abstraktive definisjoner fremstilles i boken som et slags alternativ til matematisk anskuelse som en redegjørelse for hvordan matematiske gjenstander er gitt oss. Og Linnebo synes å antyde at han anser abstraktive definisjoner som fallende inn i en fregeansk, logistisk tradisjon, mens matematisk anskuelse har nærere bånd til intuisjonismen og formalismen. En forklaring av hva som menes med abstraktive definisjoner blir fort veldig teknisk; men visse bakenforliggende idéer kan man forklare også uten bruk av matematiske symboler og matematisk tankegang.

La oss kalle et begrep som kan brukes når man teller ting et artsbegrep (fra det engelske sortal concept). For eksempel er «person» og «bok» artsbegreper, siden man kan telle personer og bøker. «Rød ting» er derimot ikke et artsbegrep, for om vi blir bedt om å telle alle røde ting på kjøkkenbordet vet vi ikke om hanken på en rød kaffekopp skal telles i tillegg til koppen selv. Om x og y er ting som faller under et artsbegrep B vet vi altså om x er samme B som y eller ikke, for kun derigjennom vet vi om vi skal telle x og y som én eller to B’er. Om man ønsker å definere et artsbegrep er det altså nødvendig å angi et såkalt likhetskriterium, nemlig et kriterium som bestemmer hva det vil si for gjenstander som faller under begrepet å være like. En abstraktiv definisjon er en definisjon av et artsbegrep som kun angir et likhetskriterium. En abstraktiv definisjon av begrepet B sier altså ikke hva en B er, den sier kun hva like B’er er. Et godt eksempel er følgende definisjon av begrepet «retning». Vi sier at retningen til linjen x er lik retningen til linjen y hvis og bare hvis x og y er parallele linjer. Her sier vi altså ikke hva retningen til en linje er, vi sier bare når en retning er lik en annen. Definisjonen kalles abstraktiv fordi den, intuitivt sett, fungerer slik: Vi når her frem til begrepet «retning» ved å ta et annet begrep, nemlig «linje», og så se bort ifra, altså abstrahere fra, alt vi vanligvis forbinder med linjer — deres plassering i rommet, for eksempel — bortsett fra, nettopp, deres retning.

Nå er det åpenbart sirkulært å definere artsbegrepet «retning» ved å si: Ta en linje og se bort fra alle dens egenskaper bortsett fra dens retning! Vi unngår denne sirkelen ved i stedet å si: Ta to linjer og se bort fra alle deres egenskaper bortsett deres eventuelle parallellitet — om linjene er parallelle har de samme retning, om de ikke er parallelle har de ulik retning. Om to linjer er parallelle, kan vi jo, for det første, intuitivt si at de har samme retning; og for det andre, er det ikke så mye annet vi kan si at de har til felles. Selvfølgelig kan de ha noe til felles, men ikke noe som vi kan slutte ene og alene fra det at de er parallelle. Kanskje er begge linjene okergule; men at de er det kan vi ikke slutte kun fra informasjonen om at de er parallelle. Altså er det naturlig å definere likhet blant retninger som parallellitet. I en abstraktiv definisjon går vi videre og sier at vi definerer selve retningsbegrepet ved kun å angi dette likhetskriteriet.

Tanken er så at man med rette kan sies å ha tilgang til en klasse av gjenstander hvis disse faller under et artsbegrep B som er definert ved en abstraktiv definisjon. Forutsatt at definisjonen teknisk sett er i orden — at den, for eksempel, ikke gir opphav til selvmotsigelser —er intet mer krevet for å kunne påberope seg slik tilgang enn at man kan omgås med begrepet B og således har forstått dets definisjon. Siden de naturlige tallene — eller, mer nøyaktig, kardinaltallene — kan gis en abstraktiv definisjon, nemlig gjennom Humes prinsipp, kan denne tankegangen anvendes i særdeleshet på aritmetikkens epistemologi og ontologi. Dette er utgangspunktet for Crispin Wright og Bob Hales ny-logisisme, men også mer generelt for abstraktive definisjoners matematikk og filosofi. Dette er et felt Linnebo selv har gitt viktige bidrag til, hvilket man får en smakebit av i beskrivelsen av såkalt dynamisk abstraksjon mot slutten av kapitlet.

Avsluttende bemerkninger

Med dette har vi gått gjennom bokens innhold, og det gjenstår bare å gi et par generelle bemerkninger. Boken behandler mange av de samme temaene som Stewart Shapiros Thinking About Mathematics (Oxford, 2000), men er betraktelig kortere, og dermed også mer kortfattet. Dette stiller jo høyere krav til den som ønsker å bruke boken som en innføring i matematikkfilosofien. En slik leser eller underviser må, for eksempel, regne med også å måtte oppsøke noen av anbefalingene til videre lesning som Linnebo gir på slutten av hvert kapittel. Innholdsmessig skiller Linnebos bok seg fra Shapiros først og fremst gjennom de tematiske kapitlene om mengdelære, matematisk anskuelse og abstraksjon, som Shapiro ikke vier like stor oppmerksomhet. Jeg har også inntrykk av at Linnebo i større grad enn Shapiro vektlegger den samtidige forskningen, hvilket vel er i tråd med intensjonen bak serien boken er en del av, «Contemporary Foundations of Philosophy», redigert av Scott Soames. Således heter det på denne seriens hjemmeside at dens bøker skal ta for seg ikke bare sitt fagfelts nyere historie og hovedtemaer, men også «exciting new developments and important unanswered questions».¹⁷ Som de andre bøkene i serien har også Philosophy of Mathematics et elegant design og en skrifttype som både er lett å lese og fin å se på. Dessuten er boken skikkelig innbundet og har et robust smussomslag, hvilket dessverre ikke kan sies om alle bøker som produseres i dag.

Om jeg skulle si noe kritisk om boken som helhet måtte det være at disposisjonen ikke overalt er like gjennomsiktig. For eksempel er det uklart hvorfor kapitlet om strukturalismen er inneklemt mellom to kapitler om mengdelære. Kapitlet om Hilberts program handler egentlig mer om uendelighet enn om dette programmet selv. Platon og Kant behandles i det første, innledende kapitlet, uten at det er deres respektive tanker om matematikken som, så vidt jeg kan se, setter dagsorden for boken. Avsnittet om Mill inneholder en innskytelse om flerhetslogikk (plural logic).

De store sprangene boken ved flere anledninger gjør fra ett tema til et annet kan også anses som én av dens styrker, siden det derigjennom tydeliggjøres at matematikkfilosofien er en tett vev der spørsmål som i dag diskuteres i ledende tidsskrifter er knyttet sammen med tradisjonelle anliggender. Det er da også dem som ønsker en innledning i matematikkfilosofien som tar for seg tradisjonelle spørsmål og svar såvel som brennende aktuelle temaer boken først og fremst anbefales.

Noter

¹ Merk at vi her, som i mange andre sammenhenger, er nødt til å si «matematikkfilosofi« heller enn «matematikkens filosofi».

² Om man ikke legger noen begrensninger på hvilke mengder man kan si finnes, er man berettiget i å si at det finnes en mengde R hvis elementer er de og bare de mengder x som ikke er element i seg selv, altså slik at x∉x. Ved å tenke litt på denne mengden R kan man se at vi har R∈R hvis og bare hvis R∉R, hvilket er en selvmotsigelse. For om R∈R, da er R blant de mengdene som ikke er element i seg selv, altså R∉R. Og om R∉R, da er R blant de mengdene som ikke er element i seg selv, altså tilfredsstiller R kriteriet for å være element i R, det vi si R∈R.

³ Boken finnes oversatt i sin helhet i Gottlob Frege. Utvalgte tekster (Oslo, 2015).

⁴ La logique ou l’art de penser (Paris, 1683), kritisk utgave Paris, 1993.

⁵ Selvmotsigelsen oppstår fordi man kan definere et begrepsomfang som oppfører seg slik mengden R beskrevet i fotnote 1 gjør.

⁶ Fra Brouwers tiltredelsestale som ekstraordinær professor ved Universitetet i Amsterdam, Intuïtionisme en formalisme (1912). En engelsk oversettlese finnes i antologien Philosophy of Mathematics, redigert av Paul Benacerraf og Hilary Putnam (Cambridge, 1983).

⁷ Over de grondslagen der wiskunde, doktoravhandling ved Universitetet i Amsterdam, 1907.

⁸ Se f.eks. Per Martin-Löf Truth and knowability: on the principles C and K of Michael Dummett fra boken Truth in Mathematics (Oxford, 1998) samt Göran Sundholm Antirealism and the roles of truth fra boken Handbook of Epistemology (Dordrecht, 2004).

⁹ Kant’s philosophy of arithmetic, opprinnelig utgitt i 1969, men også trykt i Parsons’ bok Mathematics in Philosophy (Cornell, 1983).

¹⁰ David Hilbert Neubegründug der Mathematik, s. 163, fra Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität 1: 157-177 (1922).

¹¹ Se fotnote 1.

¹² Se loc. cit. s. 169-170.

¹³ Om Dedekind se Erich Recks artikkel i Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://seop.illc.uva.nl/entries/dedekind-foundations/

¹⁴ Allerede Dedekind reiste denne innvendingen i et brev på 1870-tallet, men den er best kjent fra Paul Benacerrafs artikkel What numbers could not be fra Philosophical Review 74:47-73 (1965).

¹⁵ The potential hierarchy of sets fra Review of Symbolic Logic 6: 205-228 (2013) og Pluralities and sets fra Journal of Philosophy 107: 144-164 (2010).

¹⁶ Mathematical intuition fra Proceedings of the Aristotelian Society 80: 145-168 (1980).

¹⁷ http://press.princeton.edu/catalogs/series/princeton-foundations-of-contemporary-philosophy.html