KONFERANSERAPPORT:
MATHEMATICS WITH A HUMAN FACE
I mai var det rigget for koferanse om matematikk og filosofi ved universitetet i Bergen. Hvorfor har begreper som «nummer» forblitt så filosofisk obskurt på tross av matematikkens store historiske suksess?
Konferansen Mathematics with a Human Face fant sted 21. og 22. mai 2024 ved Universitetet i Bergen. Det er den andre konferansen om nyere arbeid innen matematikkens filosofi i sammenheng med prosjektet Mathematics with a Human Face, finansiert av Norges forskningsråd.
I rollen som prosjektleder var det Sorin Bangu, professor ved Universitetet i Bergen, som hadde gleden av å ønske velkommen til ti anerkjente internasjonale forskere som arbeider med banebrytende forskning innen matematikkens filosofi. De individuelle foredragene på konferansen dekket et bredt spekter av emner innen matematikkens filosofi, inkludert grunnleggende spørsmål og filosofien om matematisk praksis, samt matematikkens historie.
Konferansen ble åpnet av Georg Schiemer (University of Wien), som holdt et foredrag med tittelen «Hilberts konservativitetsprogram og metoden for ideelle elementer». I dette foredraget utforsket Schiemer de matematiske røttene til David Hilberts konservativitetsprogram, det vil si hans forsøk på å vise idealets konservativitet fremfor ekte matematikk. Ifølge Hilbert, refererer ekte matematikk til de intuitive, endelige delene matematikken består av, mens ideell matematikk refererer til matematikken som helhet, også inkludert de ikke-intuitive og uendelige delene. Som Schiemer hevdet, var Hilberts diskusjon av ideelle konstruksjoner i hans bevisteoretiske arbeid og deres eliminerbarhet direkte motivert av bruken av ideelle elementer i projektiv geometri i det nittende århundre. Med utgangspunkt i denne innsikten foreslår Schiemer en revurdering av den reduktive instrumentalismen som ligger til grunn for Hilberts bevisteoretiske program.
Det andre foredraget, holdt av Line Edslev Andersen (Vrije Univ. Brussel), omhandlet matematikkens sosiale epistemologi og mer spesifikt forestillingen om gruppekunnskap i matematikk. I henhold til den etablerte forståelsen i sosial epistemologi, overvåker gruppekunnskap de mentale tilstandene til de enkelte medlemmene. Spesielt er det vanlig at en gruppe som kjenner til en proposisjon p krever at i det minste noen gruppemedlemmer tror at p. Imidlertid, som Andersen hevdet, er det tilsynelatende tilfeller av gruppekunnskap i matematikk som taler mot dette synet: Gitt at matematisk kunnskap er det man kan stole på i et bevis uten ytterligere bevis, og videre identifisere dette med det som har blitt publisert i fagfellevurderte tidsskrifter, kan det uten tvil være matematisk kunnskap som ingen nålevende medlemmer av det matematiske samfunnet tror på.
Etter en diskusjonsrik lunsjpause møttes deltagerne igjen for å lytte til Carolin Antos’ (Universitetet i Konstanz) foredrag om eksemplarisk resonnement i matematikk. I motsetning til abstraksjon og generalisering har rollen som eksemplarisk og instansbasert resonnement i matematikk så langt stort sett blitt oversett. Mens det har blitt gitt at eksempler spiller en rolle når det gjelder å finne bevisideer, hevder den etablerte oppfatning at eksempler i prinsippet er unødvendige i denne funksjonen og at det ikke er noen genuint filosofisk viktig rolle for eksemplariske resonnement i matematikk. Mot denne tradisjonelle følelsen hevdet Antos at det er minst tre sammenhenger der eksemplariske resonnement i matematikk er av vesentlig filosofisk betydning: matematiske forklaringer og forståelse, begreper og naturlighet, og begrunnelse og bevis.
I det påfølgende foredraget argumenterte Otávio Bueno (University of Miami) for hvorfor en matematisk fiksjonalist burde være en strukturalist angående matematikk. Strukturalisme i matematikkens filosofi er synet på at matematiske teorier til syvende og sist handler om strukturer i stedet for objektene som instansierer disse strukturene. Versjoner av strukturalisme kan være enten platonistiske eller nominalistiske om matematiske objekter.
Ifølge en spesiell type nominalisme, fiksjonalisme angående matematikk, eksisterer ikke de abstrakte objektene som våre matematiske teorier snakker om, og derfor er ikke våre matematiske teorier sanne. På noen beretninger om fiksjonalisme, sikrer en skjønnlitterær operatør som modifiserer sannhetsverdien til setninger verbal enighet med platonismen. I andre utgaver anses matematiske objekter i seg selv for å være fiktive enheter. Imidlertid må fiksjonalisme om matematikk romme behandlingen av matematiske objekter i matematisk praksis. For å gjøre det, hevdet Bueno, må fiksjonalisme til syvende og sist stole på en strukturalistisk behandling av matematikk.
For det siste foredraget på dag én av konferansen diskuterte Jamie Tappenden (University of Michigan, Ann Arbor) fenomenet matematiske begreper hvis definisjoner på en eller annen måte er vage eller ufullstendige og dermed krever videre utvikling før de blir helt forstått av det matematiske fellesskapet. Tappenden diskuterte spesifikt konseptet om en genus av en overflate, som først ble vagt introdusert av Riemann i hans arbeid om kompleks analyse. Utviklet fra forskjellige deler av Riemanns arbeid, har konseptet om en genus blitt presisert på to tilsynelatende forskjellige måter i distinkte grener av matematikken, nemlig topologi og algebraisk geometri i tiårene etter Riemann. Mens det viste seg at disse to definisjonene antageligvis er likeverdige i en viss kontekst, er rollen disse to bare tilsynelatende distinkte begrepene spilte i matematisk praksis, for eksempel når det gjelder deres potensial for utvikling og generalisering, veldig forskjellig.
Dag 2
Den andre dagen av konferansen startet med et stort sett historisk foredrag av Gabriel Sandu (Universitetet i Helsinki) med tittelen «Ramsey og forestillingen om vilkårlig funksjon». Historisk sett var forestillinger om funksjon, som konseptene til Frege så vel som Russels forestilling om predikativ funksjon, intensjonelle, det vil si at en funksjon alltid genereres av en eller annen lov. Som hevdet av Sandu, var det F. Ramsey som innså at slike intensjonelle forestillinger om funksjon er utilstrekkelige i lys av den utvidende karakteren til moderne matematikk. Ramsey foreslo derfor forestillingen om en funksjon i utvidelse som gjør det mulig å referere til en funksjon selv når man ikke er i stand til å individualisere den ved hjelp av loven som genererer den. Ifølge Sandu, er Ramseys forestilling om en funksjon i utvidelse en tidligere forløper til den moderne, utvidende forestillingen om vilkårlig funksjon, for eksempel i avhengighetslogikk, som tar funksjonelle avhengigheter som vilkårlige korrelasjoner mellom verdier og argumenter.
Det påfølgende foredraget, holdt av David Waszek (École Normale Supérieure, Paris), handlet om anvendelser av matematikk innen matematikk. Mens anvendelser av matematikk til de empiriske vitenskapene har blitt grundig studert i matematikkens filosofi og vitenskapsfilosofien, er filosofisk analyse av anvendelser av matematisk maskineri fra en kontekst eller underdisiplin i stor grad fraværende i litteraturen. Foredraget utforsket dermed hvordan lignende anvendelser av matematikk til matematikk er til anvendelser av matematikk til empiriske vitenskaper. For det formål vurderte Waszek spesifikt tilfellet med anvendelsen av algebraisk teori i geometrisk problemløsning.
Etter lunsjpausen kom deltagerne på konferansen sammen igjen for en presentasjon ved Benedict Eastaugh (University of Warwick) som utforsket bruken av omvendt matematikk for å analysere rollen til matematiske premisser i filosofiske argumenter. Forskningsprogrammet for omvendt matematikk studerer spørsmålet om hvilke aksiomer som er nødvendige for å bevise visse teoremer i matematikk, som er uttrykkbare, men ikke bevisbare i andreordens aritmetikk. Dette inkluderer spesielt mange grunnleggende teoremer i matematisk logikk, sett-teori og andre deler av diskret matematikk.
Det er vanlig å stole på slike matematiske teorem i moderne analytisk filosofi. For å nevne to kjente eksempler: Kreisels klemmeargument som bruker fullstendighetsteoremet for førsteordens logikk for å argumentere for en utvidelse av uformell gyldighet med modellteoretisk så vel som bevisteoretisk gyldighet og argumenter mot muligheten for populær basert på Arrows’ teorem. Omvendt matematikk, slik Eastaugh sa, gir muligheter til å gjøre eksplisitte de underliggende antakelsene i slike argumenter, og avslører dermed potensielt problematiske idealiseringer.
For konferansens nest siste foredrag formidlet Ben Martin (University of Padova) om sitt felles arbeid med Andreas Fjellstad (University of Padova) om hvordan bevissystemer kan tenkes som modeller for en rekke forskjellige målsystemer, for eksempel inferensiell praksis eller de respektive logikkene selv. Mens oppfatning av formelle logikker som modeller, for eksempel for gyldigheten av argumenter i naturlig språk, har blitt et etablert perspektiv i logikkens filosofi, er et analogt perspektiv på bevissystemer spesifikt helt nytt.
Med utgangspunkt i vitenskapsfilosofiens litteratur om modeller, vurderte Martin mulige modeller, inkludert strukturell håndterbarhet, trofasthet til målsystemet og forening. Ulike bevissystemer gjør det varierende godt med hensyn til disse desiderata, selv om de holder det tiltenkte målsystemet fast. For eksempel gir naturlige deduksjonssystemer trofaste modeller for deduktiv praksis av matematikk. Sekvensberegninger, derimot, selv om de ikke er trofaste mot faktisk deduktiv praksis, blir høyt verdsatt med hensyn til forening, siden de er fleksibelt tilpasningsdyktige til ikke-klassiske logikker.
Det siste foredraget på konferansen, med tittelen Matematisk naturalisme og revisjonisme om matematikk, ble holdt av Marianna Antonutti Marfori (Université Panthéon-Sorbonne). Naturalistiske tilnærminger til vitenskapene understreker viktigheten av antirevisjonisme, prinsippet om at enhver revisjon av vitenskapelig praksis må motiveres innenfor selve praksisen. Når det gjelder matematikk, utelukker dermed antirevisjonisme eventuelle revisjoner som er foreskrevet på ikke-matematisk grunnlag. I den nyere litteraturen har flere kriterier for matematisk antirevisjonisme blitt foreslått. Et slikt kriterium sier at revisjoner av matematisk praksis foreskrevet på vitenskapelig snarere enn rent matematisk grunnlag er illegitime.
Imidlertid, som Antonutti Marfori hevdet på grunnlag av casestudier, kan det skarpe skillet mellom rent matematiske og andre vitenskapelige grunner for revisjoner som dette kriteriet bygger på, ikke opprettholdes. Et annet, mer lovende kriterium sier at revisjoner foreskrevet på filosofisk grunnlag som ville resultere i at aksepterte matematiske teoremer (intuisjonisme er et kjent historisk eksempel) er illegitime. Selv om dette kriteriet er i samsvar med matematisk naturalisme, ifølge Antonutti Marfori, fanger det ikke fullt ut den anti-revisjonistiske doktrinen: Revisjonene som er foreskrevet på filosofisk grunnlag som er i motsetning til matematisk naturalisme, omfatter ikke bare de som krever å forlate etablerte teoremer, men også revisjoner som ville kreve at man gikk bort fra etablert matematisk metodikk.
Konferansen åpnet store rom for stimulerende diskusjoner blant deltagerne, hvorav noen av dem ikke tidligere var kjent med hverandres arbeid. Dette ble bekreftet av mange deltagere, og konferansen var dermed av stor filosofisk verdi og en stor suksess. På vegne av alle bidragsyterne og deltagerne på konferansen vil jeg takke Sorin Bangu for å ha satt sammen dette virkelig flotte arrangementet.
