HVORFOR BRY SEG OM HVORDAN TING KUNNE HA VÆRT?

Målet mitt med å skrive dette essayet er å peke på hva slags rolle modallogikk spiller i analytisk filosofi og dermed oppfordre filosofer som kanskje ikke er kjent med modallogikk til å gi det et ærlig forsøk. Jeg håper å vise hvordan predikatlogikk, som er den klassiske logikken som de fleste filosofistudenter på bachelor-nivå blir undervist i, ikke er tilstrekkelig til å formalisere alle resonnementene filosofer ofte ønsker å gjøre. Videre vil jeg introdusere modallogikk som en ekspansjon av vårt logiske rammeverk for å tette deler av gapet mellom hvordan filosofer argumenterer og det logiske rammeverket som ligger bak argumentasjonen. Jeg kommer til å referere til et klassisk Gettier-eksempel for å vise både hva predikatlogikk får til og hva den mangler. Deretter blir modallogikk introdusert, før vi vender tilbake til Gettier-eksempelet for å se på hva modallogikk kan formalisere som predikatlogikken ikke fikk til.

Jeg kommer ikke til å anta at leseren er kjent med predikatlogikk, men jeg kommer til å bruke noen symboler og begreper fra predikatlogikken i teksten. De symbolene som blir brukt kommer til å bli forklart når de blir introdusert. Et predikat P er et utsagn om et subjekt. Så P kan for eksempel være predikatet «å være høy». Om Alice er lav mens Bob er høy så sier vi at P holder for Bob men ikke for Alice. Hvis vi lar a være Alice og b være Bob så skriver vi Pb men ¬Pa. Her bruker vi ¬ som et symbol for negasjon. Om vi har lyst til å si begge utsagnene på en gang så skriver vi Pb ∧ ¬ Pa hvor ∧ betyr «og». Om vi vil si at enten så er Alice lav eller så er Bob høy så skriver vi Pb ∨ ¬ Pa hvor ∨ leses som «eller». Vi kan også bruke kvantorer, hvor ∀xPx leses som «alle er høye» og ∃xPx leses som «det finnes noen som er høye». Det siste symbolet vi trenger er implikasjonstegnet →, hvor ∀xPx → Pb leses som «hvis alle er høye, så er Bob høy».

Logikkens rolle i filosofi

For å få en idé om hva slags rolle logikken spiller i filosofi starter vi med å se på et klassisk Gettier-eksempel. Edmund Gettier konstruerte et moteksempel for å argumentere imot den såkalte JTB-forklaringen av kunnskap (Gettier, 1963). Eksempler på den formen kalles nå Gettier-eksempler og de har spilt en viktig rolle innenfor epistemologi. JTB-forklaringen (engelsk, Justified True Belief) sier at person A vet X hvis og bare hvis 1) A tror X, 2) X er sann og 3) A har en god grunn til å tro X. Da det ble akseptert at Gettier sitt eksempel var et legitimt moteksempel mot JTB-forklaringen så prøvde mange filosofer å finne flere kriterier de kunne legge til JTB for å forklare hva kunnskap er. Men for mange av disse nye kriteriene finnes det et korresponderende Gettier-eksempel som viser at det de la til ikke er tilstrekkelig for å karakterisere kunnskap. Det Gettier-eksempelet vi skal se på heter kommunen med låvefasadene og går slik:

Alice er på biltur og kjører forbi en haug med låver. Det hun ikke vet er at hun har kjørt inn i en kommune som er kjent for å ha mange låvefasader. Innbyggerne i denne kommunen liker faktisk å bygge store fasader som ser ut som låver for å lure utenforstående. Det finnes bare én ekte låve i denne kommunen, og Alice stopper tilfeldigvis foran denne låven. Alice ser på låven og tror dermed at det står en låve foran henne.

La oss kalle utsagnet «det står en låve foran Alice» for b. Ifølge argumentet har Alice en god begrunnelse for å tro b, siden hun står foran noe som ser ut som en låve. Vanligvis er det god nok grunn til å tro at du ser en låve. I tillegg viser b seg å være sann: det er faktisk en låve der. Allikevel vil vi ikke si at Alice vet b fordi det er så lett å se for seg at Alice stoppet foran en av fasadene i stedet for den eneste ekte låven. Da ville hun hatt samme begrunnelse for å tro b, men b hadde vært en usann tro.

Vi skal nå se hvordan Gettier bruker førsteordens predikatlogikk for å begrunne hvorfor dette er et moteksempel. Det første han må gjøre er å oversette JTB-forklaringen til førsteordens predikatlogikk. Det gjør han ved å stille opp predikater for innholdet i eksempelet på følgende måte.

T: Alice tror på noe
S: Noe er sant
B: Noe Alice har en god begrunnelse for
V: Noe Alice vet

Gettier kan da formalisere JTB-forklaringen slik: ∀x(Tx ∧ Sx ∧ Bx → Vx). Her sier Gettier altså at JTB-forklaringen påstår at uansett hva det gjelder, om Alice tror det, det er sant og Alice kan begrunne hvorfor hun tror det, så vet Alice det. Predikatlogikk gjør en veldig god jobb med å forklare hva som skal til for at JTB-tesen ikke stemmer. Det er slik at negasjonen av ∀x(Tx ∧ Sx ∧ Bx → Vx) er det samme som ∃x(Tx ∧ Sx ∧ Bx ∧ ¬Vx). Så sagt på godt norsk, JTB-forklaringen stemmer ikke om man kan finne noe som Alice tror, som er sant, som hun kan begrunne, men som hun ikke vet.

Så langt så virker det som at predikatlogikken er tilstrekkelig for å formalisere Gettier sitt argument. Gettier er skeptisk til at ∀x(Tx ∧ Sx ∧ Bx → Vx), altså JTB-forklaringen av kunnskap, og predikatlogikken viser da at forklaringen ikke stemmer om man kan finne en ting b slik at Tb ∧ Sb ∧ Bb ∧ ¬Vb. Altså man må finne en b slik at Alice tror b, b er sann, Alice har en god grunn til å tro b men Alice ikke vet b. For å komme på et slikt moteksempel, tenker Gettier seg litt om og kommer på sitt tankeeksperiment som vi nå kaller kommunen med låvefasadene. Der lar han b være utsagnet at det står en låve foran Alice og moteksempelet er konstruert.

LES OGSÅ: Å BEDØMME VERDEN SOM HELHET

Jeg håper at jeg nå har gjort det tydelig hvorfor analytiske filosofer bryr seg om logikk. Det gir oss et verktøy som lar oss formalisere våre filosofiske påstander slik at vi er helt tydelige på hva vi mener og hvor eventuelle uenigheter ligger. Dette bidrar til å øke klarhet i de filosofiske debattene. Allikevel mener jeg at vi kan se en begrensning ved predikatlogikken i Gettier-eksempelet. Predikatlogikken klarer ikke å formalisere argumentet for hvorfor Alice ikke vet at det står en låve foran henne. Som påpekt tidligere er det vanligvis nok at man står foran noe som ser ut som en låve for at man kan trekke konklusjonen at man vet at det står en låve foran seg. Det som er spesielt med Gettier sitt argument er konteksten. Det at Alice er i kommunen med låvefasadene er den kritiske faktoren som gjør at hun ikke vet at det står en låve foran henne. Denne konteksten klarer ikke predikatlogikken å fange. Med andre ord, predikatlogikken kan fortelle oss at Tb ∧ Sb ∧ Bb ∧ ¬Vb impliserer ¬∀x(Tx ∧ Sx ∧ Bx → Vx),men ikke hvorfor vi har ¬Vb.

Modallogikk

I denne seksjonen skal jeg introdusere en ekspansjon av vårt logiske rammeverk, kalt modallogikk, og så vil jeg i neste seksjon returnere til Gettier-eksempelet for å se hvilken rolle modallogikken spiller der. Her kommer jeg bare til å gi en uformell forklaring på modallogikk – den formelle definisjonen blir gitt i vedlegget.

Den originale oppgaven til modallogikk var å formalisere resonnering om hva som er mulig og hva som er nødvending. Om du diskuterer været med en venn kan du for eksempel si «Det kunne ha regnet. Så flaks at det ble sol». Det du sier her er at det er sol, men at det ikke nødvendigvis måtte være tilfelle. Slik modallogikk ønsker å fange denne idéen er ved å si at det finnes to mulige verdener, én som er vår faktiske verden hvor det er sol, og en som er en tenkt verden hvor det regner. I modallogikk bruker vi små bokstaver på slutten av alfabetet for å betegne mulige verdener. Så i vårt eksempel har vi disse to verdenene:

w: Vår verden.
v: En tenkt verden.

Vi bruker store bokstaver for å betegne utsagt, så i vårt eksempel blir det satt opp slik:

S: Det er sol.
R: Det regner.

Da ser vi at S er sann i w, men ikke i v. Mens R er sann i v, men ikke i w.

Det vi har gjort nå er å ta to modeller fra utsagnslogikken, w og v, og limt dem sammen til en modell for modallogikk. Allikevel klarer vi ikke helt å uttrykke at i w er det sant at det kunne ha regnet. Det er fordi vi ikke har noe i det formelle språket vårt så langt som tillater oss å snakke om hva som er sant i andre verdener. For å løse dette problemet introduserer vi to nye symboler: □ og ◇. Uformelt så sier □R at R er nødvendigvis sann mens ◇R sier at R er muligens sann. Så, i w vil ◇R være sann fordi det finnes en annen mulig verden v hvor R er sann. Altså, det er sant i w at det muligens kunne ha regnet, fordi det finnes en tenkt verden v hvor det regner. Vi klarer her å fange idéen om at noe kan være muligens sant selv om det ikke er sant.

Så langt har vi sagt at for et utsagn P, for eksempel «det regner», så er ◇P sann i en verden w om det finnes en annen mulig verden v hvor P er sann. Intuitivt virker dette som en fornuftig måte å formalisere konseptet om mulig-sannhet. Når det kommer til nødvendige sannheter så kan man jo tenke at □P er sann i w om P er sann i alle mulige verdener. Om det er nødvendigvis sant at det regner burde det jo regne i alle mulige verdener. Da er det ikke vanskelig å se at man får ¬□P hvis og bare hvis ◇¬P. Sagt på litt kronglete norsk: P er ikke nødvendigvis sann, hvis og bare hvis det er mulig at P er usann. 

Et slikt samspill mellom nødvendig-sannhet og mulig-sannhet høres intuitivt ganske riktig ut. Vi hadde aldri sagt at det nødvendigvis kommer til å være sol om det er en mulighet for at det ikke kom til å være sol. Det eneste problemet med en slik tanke er at for nesten hvilket som helst utsagn er det ganske lett å se for seg en verden hvor det utsagnet er usant¹. Så da får vi ◇¬P for nesten alle utsagn, som betyr at vi får ¬□P for nesten alle utsagn.

LES OGSÅ: Rasjonalitet og objektivitet

Når man bruker modallogikk i diverse filosofiske settinger, så er det ikke alltid man ønsker å ha ¬□P for nesten alle utsagn. En veldig vanlig applikasjon av modallogikk er i epistemologi. Her ønsker vi at □R skal bety at jeg vet R. Om jeg vet at det regner fordi jeg ser ut av vinduet og observerer regnet, så burde □R være sann i denne verdenen selv om jeg kan tenke meg en verden hvor det ikke regner. Dette er en filosofisk motivasjon for å endre litt på oppsettet vårt i modallogikken slik at vi kan bruke modallogikk i flere settinger. Vi sier nemlig nå at det er helt riktig at det finnes en mulig verden hvor det ikke regner, men at denne verden er utilgjengelig for meg fordi jeg vet at det regner. 

Hva som bestemmer hvilke mulige verdener som er tilgjengelige og utilgjengelige avhenger hvilken applikasjon av modallogikk vi ønsker. Innenfor epistemologi så sier vi ofte at en verden er tilgjengelig hvis og bare hvis alt jeg vet er sant i den verdenen. Dette lar oss lese □P som «jeg vet P». Om vi derimot ønsker å bruke modallogikk for å se på etiske problemer kan vi si at en verden er tilgjengelig hvis og bare hvis ingen moralske normer fra vår verden brytes i den verdenen. Da kan vi lese □P som at P er moralsk påbudt og ◇P som at P er moralsk tillat.

Vi har nå en tanke om tilgjengelige verdener og utilgjengelige verdener, som lar oss omformulere betydningen av □ og ◇. Vi sier at □P er sann i en verden w, så lenge P er sann i alle mulige verdener som er tilgjengelige for w. På samme måte så sier vi at ◇P er sann i w, så lenge P er sann i minst en tilgjengelig verden for w. Vi har fortsatt at ¬□P hvis og bare hvis ◇¬P, men vi kan nå bruke modallogikk til å resonnere innenfor mange flere grener av filosofien. Dette er fordi vi kan endre på hva kravet er for at en mulig verden er tilgjengelig fra en annen mulig verden. Sånn kan vi fange den type resonnering som gjøres i den ønskede grenen av filosofi.

Vi er nå klare til å se på noe av den formelle semantikken. Det vil si at vi skal se på hvordan setninger i modallogikken er sanne eller usanne i forskjellige modeller. Den klassiske modellen vi ser på i modallogikk heter en Kripke-modell. En Kripke-modell F er en tuppel 〈W,R,V〉 som inneholder en mengde W, en relasjon R på W² og en evalueringsfunksjon V. Vi krever at W ikke er tom, det vil si at den har minst ett element. Intuitivt så skal W være mengden vår av mulige verdener. R har som formål å fortelle oss hvilke verdener som er tilgjengelige fra hvilke verdener. Om w og v er to mulige verdener i W så sier vi at v er tilgjengelig fra w om 〈w,v〉∈R. Vi kaller derfor R for tilgjengelighetsrelasjonen. Evalueringsfunksjonen har som oppgave og fortelle oss hvilke utsagn som er sanne i hvilke verdener. Så, om W = {w,v}er fra eksempelet fra starten av denne seksjonen får vi at V(S) = {w}og V(R) = {v}³. Om vi legger til en tredje verden u hvor det både er sol og regner samtidig så får vi at W = {w,v,u}, V(S) = {w,u} og V(R) = {v,u}.

Med modallogikk i verktøybeltet

Vi kan nå returnere til Gettier-eksempelet for å se hva slags forklaringsevne modallogikken gir oss. Så langt har vi sett at predikatlogikken klarte å forklare hvorfor kommunen med låvefasadene er et tilstrekkelig moteksempel mot tesen om at man vet X hvis og bare hvis man har en sann tro om X med en god begrunnelse. Formelt sier nemlig predikatlogikken at om vi skal argumentere imot ∀x(Tx ∧ Sx ∧ Bx → Vx) så må vi finne en b slik at Tb ∧ Sb ∧ Bb ∧ ¬Vb, men den klarer ikke å fange konteksten i moteksempelet som er grunnen til at vi konkluderer med at ¬Vb. Det er her jeg mener at modallogikk kan supplere predikatlogikken med å formalisere hvorfor Alice ikke vet at det står en låve foran henne.

Som nevnt i forrige seksjon så kan modallogikk bli brukt til å formalisere argumenter innenfor epistemologi. Da tolker man □P som at en agent vet P. Da sier man også at 〈w,v〉∈R hvis og bare hvis alt jeg vet i verden w er sant i verden v. Altså, de tilgjengelige verdene er akkurat de som ikke motsier noe jeg vet.

LES OGSÅ: USANNE ANALYSER OG ÅLREITE BEGREPER

Vi kan nå formalisere argumentet i modallogikk om hvorfor Alice ikke vet at det står en låve foran henne. Vi lar W = {w,v}og R={〈w,w〉,〈v,v〉,〈w,v〉,〈v,w〉}.Tanken er at i verden w så stopper Alice foran den eneste ekte låven i kommunen med låvefasadene, mens i verden v så stopper Alice foran en av låvefasadene. Så om vi lar P være utsagnet at det står en låve foran Alice så får vi at P er sann i w, men ikke sann i v. Dermed trenger bare Gettier å argumentere for at 〈w,v〉∈R. Altså at v er en tilgjengelig verden fra w. Da følger det nemlig at ¬□P er sann i w ettersom det finnes det en tilgjengelig verden v hvor P ikke er sann. For å gjøre dette sier Gettier at fasadene er så like en faktisk låve i denne kommunen at Alice ikke har en måte å skille dem på. Derfor må v, altså den verdenen hvor Alice stopper foran en fasade, være en tilgjengelig verden fra w. Selv om Alice er i w, altså stoppet foran den ekte låven, har hun ingen måte å skille de to scenarioene fra hverandre på.

Her ser vi at modallogikk lar oss formalisere mer av argumentet til Gettier enn predikatlogikken. Selve det filosofiske argumentet er at 〈w,v〉∈R, og om man er enig i det så sier den modallogiske formalismen at man må være enig i at ¬□P.

Konklusjon

Målet mitt med dette essayet er å peke på hvilken rolle modallogikken spiller i analytisk filosofi. Jeg har først argumentert for at det er et gap mellom hvilke filosofiske argumenter den klassiske predikatlogikken klarer å formalisere og hvordan analytiske filosofer argumenterer i praksis. Videre har jeg argumentert for at modallogikk klarer å tette noen deler av dette gapet. 

Jeg håper derfor at dette essayet har vekket en interesse for modallogikk hos leseren. Jeg har prøvd å bruke så lite formell logikk som mulig, selv om noe strengt tatt har vært nødvendig, så for de som er interessert i hvordan det formelle rammeverket for modallogikk faktisk ser ut så har jeg lagt ved et vedlegg som sier mer om dette. Til slutt er det viktig å presisere at modallogikk ikke har blitt presentert som et alternativ til predikatlogikk, men som et tillegg. Dette essayet har kun tatt for seg hvordan man kan legge modallogikk oppå utsagnslogikken, men det er fullt mulig å legge modallogikk oppå predikatlogikken også. Før man kan gjøre det må man imidlertid ta stilig til filosofiske debatter som blant annet handler om identitet på tvers av mulige verdener.

Noter

1. Unntaket til denne påstanden er utsagn som a priori er sant. Altså det er ikke åpenbart at det finnes en mulig verden hvor 2+2=5.
2. Formelt sett så er R⊆W×W. Det vil si at R er en mengde med tupler 〈w,v〉 hvor både w og v er i W. Så om W = {w1,w2,w3}. Så om er både R1={〈w1,w1〉,〈w2,w2〉,〈w3,w3〉},R2={〈w1,w2〉,〈w2,w3〉,〈w3,w1〉} og R3={} mulige relasjoner.
3. Det er her viktig å se at R i V(R) er et utsagn og ikke tilgjengelighetsrelasjonen. Det kan derfor være en fordel å ikke bruke R som et utsagn for å unngå forvirring, men til mitt forsvar så var det naturlig å la R stå for at det regner.